一张搞笑图片引发的积分计算

这篇文章使用了markdown+latex公式,效果确实不错

缘起

周五中午的时候团队群里传了一张有趣的搞笑图片,内容是一个WIFI密码要进行积分计算。图片如下:

搞笑图片

大家对于这个结果到底是多少很感兴趣

$$ \int_{-2}^{2} (x^3*cos(\frac{x}{2})+\frac{1}{2})\sqrt{4-x^2}dx $$

于是开始了各种计算方法

计算机计算

搞数学不会软件已经不行了。一个积分随随便便就通过在线计算就能算。结果如下

结果是 $ \pi $

手工计算

最近又把微积分复习了一遍,看答案这么简单应当是可以通过手算积出来的。那么手工应该怎么算呢?

第一次尝试

怪我学艺不精。第一眼看上去,左边括号内部的部分比较复杂,括号右边比较简单。感觉上好像通过分部积分可以搞定? 于是令
$ u(x)=(x^3cos(\frac{x}{2})+\frac{1}{2})$
$ v'(x)=\sqrt{4-x^2} $

这样一来 $ v{x} $ 倒是能算,但是 $ \int u(x)v'(x) $ 真是没法算。。。所以最终用减法算 $ \int_{-2}^{2} u(x)v'(x)dx $ 也没戏。。。

第二次尝试

仔细观察,有一部分是很好算的。尝试把括号里面的 $ \frac{1}{2} $ 拿出来,然后计算 $ \frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx $ 通过几何方法很容易可以看出来这是个上半圆的一半(或者通过$ x=2sin(t)$换成$\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos(t)dt$ 计算),也就是$ \pi $

这样剩余部分就是计算 $\int_{-2}^{2}x^3cos(\frac{x}{2})\sqrt{4-x^2}dx$ 了。这一部分应该怎么算呢? 如果硬算的话,用三角代换会出现三角函数的三角函数,这。。。但是别急,看下积分限,是对称的诶! 再看这个函数的几个部分, $x^3$ 是奇函数, $cos(\frac{x}{2})$ 和 $\sqrt{4-x^2}$ 是偶函数,于是三项的乘积应当是奇函数,所以在对称区间内积分是$0$ ,所以最终结果就是$\pi$

吐槽

这个图应当不是真的,因为作者忽略了一个问题,就是WIFI密码的位数不太可能是6位。WEP已经被弃用,密码位数是5位或13位。WPA的话,标准推荐是8-63位,一般设备实现也是至少8位。所以看来这个图的制作人常识还是不过关啊~

补: 第二天从媒体上看到居然是真的。想到一个问题,可能是无密码的WIFI,然后配合web认证系统来登录。这样的话6位的确是有可能的。